# Ring, ordnet ring, summering.

# Definisjon 1.10

Vi betrakter en mengde , utstyrt med to avbildninger kalt addisjon og multiplikasjon :

og to utvalgte elementer og .
Vi sier at er en ring dersom:

• addisjon er assosiativ, kommutativ, har neutralt element og hvert element har en invers (som skrives ).
• multiplikasjon er assosiativ og har neutralt element .
• multiplikasjon distribuerer over addisjon, i den forstand at for alle har vi: Med andre ord krever vi at er en kommutativ gruppe, at er en monoide, og at multiplikasjon distribuerer over addisjon.

# Definisjon 1.11

La R være en ring.

• Vi sier at er triviell dersom 0 = 1. Da har vi .
• Vi sier at er kommutativ dersom multiplikasjonen er kommutativ.
• Vi sier at er et integritetsdomene dersom er ikke-triviell, kommutativ og hvis vi har:

• Vi sier vi at er en kropp dersom er ikke-triviell, kommutativ og alle elementer bortsett fra har en multiplikativ invers.

# Definisjon 1.12

La være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at er utstyrt med en orden . Vi sier at ordenen er kompatibel med addisjon og multiplikasjon når følgende holder:

En ordnet ring er en ring utstyrt med en orden som er kompatibel med addisjon og multiplikasjon.

En totalt ordnet ring er ordnet ring der ordenen er total, mens en partielt ordnet ring er en ordnet ring der ordenen er partiell.

# Aksiom 1.1

De hele tallene utgjør en ikke-triviell ordnet ring slik at vi kan gjøre induksjonsbevis for å etablere egenskaper ved de positive hele tallene, også kalt de naturlige tallene.

Fra dette perspektivet utgjør de naturlige tallene en mengde definert som:

og vi antar altså følgende prinsipp: La være en egenskap definert på (med andre ord har vi et utsagn for hver . Dersom vi har:

• er sant,
• ,
  kan vi konkludere at, for hver har vi .

# Definisjon 1.13

(Summasjonstegn). La være utstyrt med en addisjon (assossiativ, kommutativ med neutralt element ). Vi definerer summen til følger , ved induksjon på . Vi krever at:

Vi føyer også til følgende definisjon: $$\sum_{k=m}^{n}u_k=0; \text{hvis}; n< m $$

# Teorem 1.16

La og være kommuterende elementer i en ring. Da har vi, for hver :

# Teorem 1.18

La være en bijeksjon. Da har vi:

# Definisjon og Proposisjon 1.14

La være en familie i , indeksert av en endelig mengde med kardinalitet . For hver , hver bijeksjon σ kan vi danne summen:

Den er uavhengig av valg av og og kalles summen til familien, og skrives:

Når er tom definerer vi: