# Ekvivalens- og ordens-relasjoner.

# Definisjon 5.1

(Relasjoner) La vÊre en mengde utstyrt med en relasjon som gitt pÄstÄr at , som uttales « triangel ». Vi sier at relasjonen er

  • refleksiv dersom:
  • symetrisk dersom:
  • antisymetrisk dersom:
  • transitiv dersom:

# Definisjon 5.2

(Ekvivalenser) Vi sier at en relasjon er en ekvivalens nĂ„r den er reïŹ‚eksiv, symetrisk og transitiv.

# Definisjon 5.3

(Equivalence classes) Let be an equivalence relation on a nonempty set , and let . The equivalence class of is the set

The set of all equivalence classes of is denoted by

# Definisjon 5.4

(Ordener) La vĂŠre en mengde og vĂŠre en relasjon pĂ„ . Vi sier at er en orden nĂ„r den er reïŹ‚eksiv, antisymetrisk og transitiv.
     La . Vi sier at og er sammenliknbare dersom:

Vi sier at er en total orden dersom alle elementer er sammenliknbare. Hvis en orden ikke nĂždvendigvis er total, kan vi poengtere det ved Ă„ si at den er partiell.

# DeïŹnisjon 5.5

La vĂŠre utstyrt med en ordensrelasjon som vi skriver . La vĂŠre en delmengde av og la . Vi sier at:

  • er en nedre skranke for dersom .
  • er et minimalt element i dersom og . Dette kan ogsĂ„ skrives og .
  • er et minimum i dersom og . NĂ„r dette er tilfellet er entydig bestemt av og skrives min. Vi kan ogsĂ„ si at er det minste elementet i .

Øvre skranke, maksimalt element, maksimum (max, stĂžrste element), deïŹneres tilsvarende. Vi sier ogsĂ„ at:

  • er et inïŹmum av dersom det er et maksimum i mengden av nedre skranker til . NĂ„r dette er tilfellet er entydig bestemt av og skrives inf.

Supremun er deïŹnert pĂ„ tilsvarende mĂ„te og skrives sup nĂ„r det eksisterer.

# Definisjon 5.6

La og vĂŠre to ordnede mengder og la vĂŠre en avbildning. Vi sier at er voksende dersom:

og strengt voksende dersom:

Avtagende og strengt avtagende deïŹneres ved Ă„ reversere ulikhetene blant bildene. Vi sier at er monoton hvis den er voksende eller avtagende.

Last Updated: 11/5/2019, 9:09:30 AM