# Familier av mengder, in-, sur-, bi-jeksjon.

# Aksiom 4.1

Dersom er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til , som skrives:

Med en slik notasjon får vi:

Tilsvarende kan man definere, når er en ikke-tom mengde bestående av mengder:

Merk at vi har:

# Definisjon 4.1

(Familier). La være en mengde og en annen mengde. En familie delmengder av indeksert av er en avbildning fra til .
     Når er en familie indeksert av er det vanlig å skrive i heller enn for verdien til i og å betegne familien som . Merk at vi skriver verdimengden til som:

# Definisjon 4.2

La være en mengde og en familie delmengder av U.
Vi definerer snittet til familien ved:

og unionen ved:

Disse nye definisjonene tilsvarer de gamle ved at:

og

# Definisjon 4.3

La og være en mengder og $ en familie delmengder av . Vi definerer:

# Aksiom 4.2

(Utvalgsaksiomet). La være en familie mengder. Vi har da:

Med andre ord, dersom hver kan vi velge et element for hver . Da vil være et element i . Grunnen til at det trengs et aksiom er at kan være uendelig, slik at man gjør uendelig mange valg simultant.

# Definisjon 4.4

La være en avbildning.

• Vi sier at er injektiv dersom:

• Vi sier at er surjektiv dersom:

• Vi sier at er bijektiv dersom er både injektiv og surjektiv.

# Definisjon 4.5

Når er bijektiv, inversavbildningen til skrives .

# Teorem 4.8

(Cantor) La være en mengde. Det finnes ingen surjeksjon . Det finnes heller ingen injekson .