# Operasjoner

# Definisjon 1.1

En operasjon på en mengde er en avbildning fra til .

# Definisjon 1.2

La være en operasjon. For skriver vi i stedet for .

• Vi sier at operasjonen er assosiativ dersom:

• Vi sier at er et neutralt element dersom:

• Vi sier at to elementer kommuterer dersom . Vi sier at operasjonen er kommutativ dersom og kommuterer for alle

# Definisjon og Proposisjon 1.3

La være utstyrt med en assosiativ operasjon og et neutralt element . La . Vi sier at er invertibel dersom det finnes slik at . I såfall er entydig bestemt av og kalles inversen til .

# Definisjon 1.4

La være utstyrt med en operasjon . Man sier at en delmengde av er stabil under dersom:

I såfall kan man utstyre med den såkalte induserte operasjonen:

# Definisjon 1.5

La være utstyrt med en operasjon . La være en ikke-tom mengde. Vi utstyrer med en operasjon også kalt som følger. For definerer vi ved:

Merk at vi bruker operasjonen på i høyre ledd. Vi sier at operasjonen på er indusert av operasjonen på , punktvis.

# Definisjon 1.6

En monoide er en trippel slik at er en operasjon på som er assosiativ og har neutralt element . Man sier at monoiden er kommutativ dersom operasjonen er kommutativ. Det er vanlig å si at den underliggende mengden er en monoide, når det er underforstått hva operasjonen og det neutrale elementet er.
     Man sier at er utstyrt med en monoidestruktur når man har valgt en operasjon og element , slik at er en monoide.

# Definisjon 1.7

En gruppe er en monoide, slik at hvert element er invertibelt. En gruppe sies å være kommutativ, eventuelt Abelsk, dersom operasjonen er kommutativ.
     Man sier at er utstyrt med en gruppestruktur når man har valgt en operasjon og element , slik at er en gruppe.

# Definisjon 1.8

La være en monoide. En undermonoide av er en monoide på formen der er en delmengde av som er stabil under operasjonen og som inneholder . Det er underforstått at utstyres med operasjonen man får ved restriksjon av operasjonen på , og at denne også skrives .

# Definisjon 1.9

La være en gruppe. En undergruppe av er en undermonoide som også er en gruppe. Dette kan formuleres som at må være stabil under operasjonen , inneholde og være stabil under inverteringsavbildningen: