# Ekvivalens- og ordens-relasjoner.

# Definisjon 5.1

(Relasjoner) La være en mengde utstyrt med en relasjon som gitt påstår at , som uttales « triangel ». Vi sier at relasjonen er

• refleksiv dersom:
  
• symetrisk dersom:
  
• antisymetrisk dersom:
  
• transitiv dersom:
  

# Definisjon 5.2

(Ekvivalenser) Vi sier at en relasjon er en ekvivalens når den er refleksiv, symetrisk og transitiv.

# Definisjon 5.3

(Equivalence classes) Let be an equivalence relation on a nonempty set , and let . The equivalence class of is the set

The set of all equivalence classes of is denoted by

# Definisjon 5.4

(Ordener) La være en mengde og være en relasjon på . Vi sier at er en orden når den er refleksiv, antisymetrisk og transitiv.
     La . Vi sier at og er sammenliknbare dersom:

Vi sier at er en total orden dersom alle elementer er sammenliknbare. Hvis en orden ikke nødvendigvis er total, kan vi poengtere det ved å si at den er partiell.

# Definisjon 5.5

La være utstyrt med en ordensrelasjon som vi skriver . La være en delmengde av og la . Vi sier at:

• er en nedre skranke for dersom .
• er et minimalt element i dersom og . Dette kan også skrives og .
• er et minimum i dersom og . Når dette er tilfellet er entydig bestemt av og skrives min. Vi kan også si at er det minste elementet i .

Øvre skranke, maksimalt element, maksimum (max, største element), defineres tilsvarende. Vi sier også at:

• er et infimum av dersom det er et maksimum i mengden av nedre skranker til . Når dette er tilfellet er entydig bestemt av og skrives inf.

Supremun er definert på tilsvarende måte og skrives sup når det eksisterer.

# Definisjon 5.6

La og være to ordnede mengder og la være en avbildning. Vi sier at er voksende dersom:

og strengt voksende dersom:

Avtagende og strengt avtagende defineres ved å reversere ulikhetene blant bildene. Vi sier at er monoton hvis den er voksende eller avtagende.