Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da kardinaliteten til mengden. Overfører man denne terminologien tilbake til daglidagstale, blir det noe tungvint: man sier for eksempel at en edderkopp har bein, ikke at kardinaliteten til mengden av bein på en edderkopp er .
I matematikk er det litt situasjonbetinget om det er best å si at det finnes avbildninger fra til eller at mengden av avbildninger fra til har kardinalitet . Vi skal her innføre en notasjon som gjør det mulig å skrive det enda mer konsist:
Mengdeteorien gjør det mulig å snakke om uendelige mengder (dvs mengder som ikke er endelige!) og det gjør det nødvendig å presisere hva vi har i tankene når vi snakker om kardinalitet: hvordan sammenlikne størrelsen på uendelige mengder? Utgangspunktet er at to endelige mengder er like store når det finnes en bijeksjon mellom dem. Bruker vi den samme definisjonen på uendelige mengder oppnår vi paradokser som at det finnes like mange naturlige partall som det finnes naturlige tall. Et annet paradoks er Hilberts hotell : der er det alltid plass til en ny gjest, selv om hotellet er fullt. Disse paradoksene er indikasjon på at teorien må bygges opp møysommelig, til og med for endelige mengder.
Denne måten å sammenlikne størrelse på uendelige mengder er ikke den eneste mulige. Når man snakker om volumet til, la oss si, et tredimensionalt legeme er det et annet begrep, for eksempel.
La være en mengde. Vi sier at er endelig dersom det finnes slik at det finnes en bijeksjon . I såfall er entydig bestemt av og kalles kardinaliteten til , og vi skriver .
